Question

【題目】已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程；

（2）令，然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.

（1），，

∴，

又，

∴切線方程為，即.

（2）令，

，

①若，則在上單調(diào)遞減，又，

∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，

∴恒成立.

②若，令，

∴，易知與在上單調(diào)遞減，

∴在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，

又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，

又，∴恒成立，

當(dāng)即時(shí)，使，

∴在遞增，此時(shí)，∴，

∴在遞增，∴，不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.