Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為 （為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）或.

【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）先將曲線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，然后將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，因曲線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以整理后的關(guān)于的二次方程，初步確定的范圍，再根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知，，引入已知，分類討論，求實(shí)數(shù)的值.

（1）的參數(shù)方程，消參得普通方程為，

的極坐標(biāo)方程化為即；

（2）將曲線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)化為（為參數(shù)，）

代入曲線得，由，

得

設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，由題意得即或，

當(dāng)時(shí)，，解得 ，

當(dāng)時(shí)，解得，

綜上：或.