Question

已知函數(shù)且
（1）求的單調(diào)區(qū)間；                 
（2）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；

Answer 1

（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
（2）略

（1）由（I）得
故
令，則或 ①當(dāng)時，
當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
②由時，，此時，恒成立，且僅在處，
故函數(shù)的單增區(qū)間為R
③當(dāng)時，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
綜上：
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
（2）當(dāng)時，得
由，得
由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
所以函數(shù)在處取得極值。
故
所以直線的方程為
由得  令
易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點
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