Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀使得f（x₀）=x₀成立，則稱點(diǎn)（x₀，x₀）為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不動(dòng)點(diǎn)（1，1）和（-3，-3），求a，b的值．
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax²+bx-b總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，及已知中函數(shù)f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不動(dòng)點(diǎn)（1，1）和（-3，-3），我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可得到答案．
（2）若函數(shù)f（x）=ax²+bx-b總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則方程ax²+bx-b=x有兩個(gè)相異的實(shí)根，由此可以構(gòu)造出一個(gè)不等式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到a的范圍．

解答：解：（1）由題意

f(1)=1 f(-3)=-3

，即

a+b-b=1 a(-3)2+b(-3)-b=-3

，解的

a=1 b=3

．
（2）函數(shù)f（x）=ax²+bx-b總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)不等根．
化簡(jiǎn)f（x）=x得到ax²+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）²+4ab＞0，即b²+（4a-2）b+1＞0．
由題意，該關(guān)于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式或方程問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．