Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：恒等于常數(shù),則稱具有局部等差數(shù)列.

（1）若具有局部等差數(shù)列，且，求；

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有局部等差數(shù)列，并說明理由；

（3）設(shè)既具有局部等差數(shù)列，又具有局部等差數(shù)列，求證：具有局部等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）由題意得， ，，．

于是，又因為，代入解得．………………3分

（2）的公差為，的公比為，

所以，．

．

，當(dāng)時，不恒為常數(shù)，

所以不具有局部等差數(shù)列．………………8分

（3）由題意得：當(dāng)時成等差數(shù)列， 也成等差數(shù)列，

所以當(dāng)時

于是當(dāng)時成等差數(shù)列，因此（），

從而當(dāng)時成等差數(shù)列，公差為

由當(dāng)時，

所以

因此當(dāng)時成等差數(shù)列，公差為 ，即具有局部等差數(shù)列.………………16分

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列單調(diào)性，反證法等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維及推理能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力．