Question

給出定義：若，則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上有函數(shù)f（x）=|x-{x}|（x∈R）．對(duì)于函數(shù)f（x）給出如下判斷．
①函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；⑤函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=k（k∈Z）對(duì)稱．
以上判斷中正確的結(jié)論有    ．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：①通過(guò)判斷f（-x）是否等于f（x），來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性．②利用周期性的定義，若函數(shù)滿足f（x+T）=f（x），則函數(shù)為周期是T的周期函數(shù)．③可舉出不成立的情況，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上不是單調(diào)遞增．④⑤利用若函數(shù)滿足f（a-x）=f（x），則函數(shù)對(duì)稱軸為x=，來(lái)判斷函數(shù)的對(duì)稱性．
解答：解：∵，∴
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正確
∵，∴
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，∴②正確．
∵∈，∈，且{}=0，{}=0
不滿足區(qū)間上單調(diào)遞增，∴③錯(cuò)誤
∵，∴
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
∴④正確
∵，∴
∴{2k-x}=2k-m
∴f（2k-x）=|2k-x-{2k-x}|=|2k-x-（2k-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=k（k∈Z）對(duì)稱，⑤正確
故答案為①②④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性，周期性，單調(diào)性，對(duì)稱性的判斷，屬于性質(zhì)的綜合．