Question

（本小題滿分14分）

 如圖，四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA。

（1）求直線PC與平面PAD所成角的余弦值；（6分）

（2）求證：PC//平面EBD；（4分）

（3）求二面角A—BE—D的余弦值.（4分）

 

Answer 1

【答案】

（1）直線PC與平面PAD所成角的余弦值. （2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）一點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)至B-xyz，根據(jù)條件求出CD,PD，然后求出這兩個向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角；

（2）欲證PC∥平面EBD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內(nèi)一直線平行連接AC交BD于G，連接EG，根據(jù)比例關(guān)系可知PC∥EG，而EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，滿足定理所需條件；

（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系……1分

∴………………2分

設(shè)平面PAD法向量為，

則，所以 …3分

設(shè)直線PC與面PAD所成角為，…4分

…………………5分

所以，直線PC與平面PAD所成角的余弦值.……………………6分

（2）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，

 ，∴ ……………8分

 …………………………9分

∴…………………………10分

（3）設(shè)平面，由

考點(diǎn)：本試題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用線面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的運(yùn)用。