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          對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
          


          （Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：. 
          


          求證：(1)是數(shù)列的母函數(shù)；
          


          (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
          


          （Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          （Ⅰ）(1) 由題知，，是數(shù)列的母函數(shù)
          


          (2) （Ⅱ），，從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
          


          又故當(dāng)時(shí)，有
          


          ，化簡得結(jié)論
          


          【解析】
          


          試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且
          


          


          .
          


          是數(shù)列的母函數(shù)；
          


          (2) 由(1) 知：是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，故.
          


                     ①
          


                ②
          


          ①-②得：.
          


          .
          


          （Ⅱ）由題知：，. .
          


          從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
          


          .
          


          又
          


          故當(dāng)時(shí)，有：
          


          


          .
          


          考點(diǎn)：信息題及數(shù)列求和
          


          點(diǎn)評(píng)：求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實(shí)質(zhì)，將其性質(zhì)代入相應(yīng)的函數(shù)式中推理；第一問的數(shù)列求和用到了錯(cuò)位相減法，這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法，其適用于通項(xiàng)公式為關(guān)于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對(duì)于無窮數(shù)列{xn}和函數(shù)f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），則稱f（x）是數(shù)列{xn}的母函數(shù)．
          （Ⅰ）定義在R上的函數(shù)g（x）滿足：對(duì)任意α，β∈R，都有g(shù)（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
          1
          2
          )=1          ；又?jǐn)?shù)列{an}滿足：an=g(
          1
          2n
          )          ．
          求證：（1）f（x）=x+2是數(shù)列{2nan}的母函數(shù)；
          （2）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和Sn．
          （Ⅱ）已知f(x)=
          2012x+2
          x+2013
          是數(shù)列{bn}的母函數(shù)，且b1=2．若數(shù)列{
          bn-1
          bn+2
          }          的前n項(xiàng)和為Tn，求證：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
          （Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：. 
          (1)  求證：是數(shù)列的母函數(shù)；
          (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
          （Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
              
          （Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：. 
              
          (1)   求證：是數(shù)列的母函數(shù)；
              
          (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
              
          （Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
              
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
              
          （Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：. 
              
          (1)   求證：是數(shù)列的母函數(shù)；
              
          (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
              
          （Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
              
          

			
          

			
          
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