Question

已知數(shù)列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…計(jì)算S₁，S₂，S₃，根據(jù)據(jù)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：由數(shù)列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…，分別令n=1，2，3，求得S₁，S₂，S₃，的值，猜想S_n的表達(dá)式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，①驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，證明n=k+1時(shí)也成立，從而證明命題正確．

解答：解：
S1=1-

1

2

S2=1-

1

3

S3=1-

1

4

猜想：Sn=1-

1

n+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①n=1時(shí)，左邊S1=1-

1

2

=

1

2

，右邊1-

1

2

=

1

2

②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

=1-

1

k+1

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

(1-

1

k+2

)=1-

1

(k+1)+1

∴n=k+1時(shí)猜想也成立
根據(jù)1，2可知猜想對任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評：考查歸納、猜想、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，考查學(xué)生的計(jì)算、歸納、猜想能力，特別是②是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的難點(diǎn)所在，屬基礎(chǔ)題．