Question

【題目】已知橢圓的焦距為，離心率為，圓，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是圓的任意一條直徑，面積的最大值為2.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）若為圓的任意一條切線(xiàn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，求的取直范圍.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓方程為，圓的方程為 (2)

【解析】分析：(1)易知當(dāng)線(xiàn)段AB在y軸時(shí)，，，結(jié)合

可求，可求橢圓方程和圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)L方程為：y=kx+m,直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)，，

直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，，得，利用弦長(zhǎng)公式

可得，然后利用換元法求其范圍即可.

詳解：

解：(1) 設(shè)B點(diǎn)到x軸距離為h,則，易知當(dāng)線(xiàn)段AB在y軸時(shí)，

，

所以橢圓方程為，圓的方程為

（2）設(shè)直線(xiàn)L方程為：y=kx+m,直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)，，

直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，，得

判別式，由韋達(dá)定理得：，

所以弦長(zhǎng)，令，

所以