Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，，a=3，△ABC的面積為6，D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)D到三邊距離之和為d．
（1）求角A的正弦值；
（2）求邊b、c；
（3）求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知的條件變形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根據(jù)A的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出sinA的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式及，a=3，聯(lián)立即可求出b與c的值；
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，利用間接法求出三角形面積并讓其等于6得到關(guān)于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，兩者聯(lián)立消去z后表示出y的關(guān)系式，利用距離大于等于0得到一個(gè)不等式組，畫出此不等式組所表示的平面區(qū)域，在平面區(qū)域內(nèi)得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范圍．
解答：解：（1）由
變形得，利用余弦定理得
因?yàn)锳∈（0，π），所以sinA===；
（2）∵，∴bc=20
由及bc=20與a=3
解得b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，
則
又x、y滿足
由d=+（2x+y）得到y(tǒng)=-2x+5d-12，畫出不等式表示的平面區(qū)域得：y=-2x+5d-12是斜率為-2的一組平行線，
當(dāng)該直線過不等式表示的平面區(qū)域中的O點(diǎn)即原點(diǎn)時(shí)與y軸的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；
當(dāng)該直線過A點(diǎn)時(shí)，與y軸的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，
所以滿足題意d的范圍為：
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，會進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．