Question

已知公比為q的等比數(shù)列{a_n}，則數(shù)列{a_n+a_n+1}（　　）

A．一定是等比數(shù)列

B．可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列

C．一定是等差數(shù)列

D．一定不是等比數(shù)列

Answer 1

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由題意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1）
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
當(dāng)q=-1時(shí)，數(shù)列{a_n+a_n+1}為a_n=0的一個(gè)常數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列
當(dāng)q≠-1時(shí)

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q + 1

1+q

=

1

q

當(dāng)q≠±1時(shí)，

1

q

 是一個(gè)不為1的常數(shù)，所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是等比數(shù)列；
當(dāng)q=1時(shí)，

1

q

=1，所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是一個(gè)常數(shù)列，它既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列
故選B