Question

已知．

(1) 求函數(shù)在上的最小值；

(2) 對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3) 證明：對(duì)一切，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明

【解析】

試題分析：(1)由題意知，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增． 

① ，t無(wú)解；

② ，即時(shí)，；

③ ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；

所以．                                          ……4分

(2) ，則，

設(shè)，則，

，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增，

所以．

因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，所以．                                                        ……9分

（3）問(wèn)題等價(jià)于證明，

由⑴可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．　

設(shè)，則，

易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

從而對(duì)一切，都有成立．                          ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，恒成立問(wèn)題和構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

點(diǎn)評(píng)：恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為最值解決，而證明不等式時(shí)，一般會(huì)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等，進(jìn)而證明不等式.