Question

（2013•東城區(qū)二模）在數(shù)列{a_n}中，若對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=t（t為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，t稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}滿足an=

2n-1

n2

，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差t=

1

2

；
③若數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
④若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

Answer 1

分析：①由等比數(shù)列的特點，代入可知滿足新定義，若等差數(shù)列的公差d=0時滿足題意，當d≠0時，不是比等差數(shù)列，可知正確；②代入新定義驗證可知，不滿足；③由遞推公式計算數(shù)列的前4項，可得

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列；④可舉{a_n}為0列，則數(shù)列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義．

解答：解：①若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比為q，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=q-q=0，為常數(shù)，故等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差為d，當d=0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

=1-1=0，為常數(shù)，是比等差數(shù)列，
當d≠0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

不為常數(shù)，故不是比等差數(shù)列，故等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列，故正確；
②若數(shù)列{a_n}滿足an=

2n-1

n2

，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

2(n+1)2

(n+2)2

-

2n2

(n+1)2

不為常數(shù)，故數(shù)列{a_n}不是比等差數(shù)列，故錯誤；
③若數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），可得c₃=2，c₄=3，故

c3

c2

-

c2

c1

=1，

c4

c3

-

c3

c2

=-

1

2

顯然

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故正確；
④若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，可舉{a_n}為0列，則數(shù)列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義，即數(shù)列{a_nb_n}不是比等差數(shù)列，故錯誤．
故答案為：D

點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列以及新定義，屬基礎(chǔ)題．