Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅲ）證明不等式對任意成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

從而可得，

得到對任意成立．

通過取，，得，．

將上述n個不等式求和,得到:，

證得對任意成立．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求，切線的斜率，求得切線方程.

（Ⅱ）當(dāng)時，根據(jù)，只要考查的分子的符號．

通過討論，得時在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令求得其根． 利用“表解法”得出結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

從而可得，

得到對任意成立．

通過取，，得，．

將上述n個不等式求和,得到:，

證得對任意成立．

試題解析：．

（Ⅰ）當(dāng)時，，切線的斜率，

所以切線方程為，即．                   3分

（Ⅱ）當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092600290972544153/SYS201309260030283161861041_DA.files/image019.png">，所以只要考查的符號．

由，得，

當(dāng)時，，從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由解得．       6分

當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：

函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．        9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

所以，

即對任意成立．               11分

取，，

得，即，．  13分

將上述n個不等式求和,得到:，

即不等式對任意成立．         14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，2、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、3、證明不等式.