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          已知矩陣M=
          2  1
          4  2
          ，向量
          β
          =
          .
          1 
          7 
          .
          ．
          （1）求矩陣M的特征向量；
          （2）計算M50
          β
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
          （2）利用特征向量的性質(zhì)計算，先利用特征向量表示向量β，后將求A50β的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計算問題．
          解答：解：（1）矩陣M的特征多項式為f(λ)=
          .
          λ-2-1
          -4λ-2
          .
          =(λ-2)2-4=0          ，…（3分）
          所以λ1=0，λ2=4，設(shè)對應(yīng)的特征向量為α1=
          x1
          y1
          ，α2=
          x2
          y2
          ．
          由Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，可得2x1+y1=0，2x2-y2=0，
          所以矩陣M的一個特征向量為α1=
          1
          -2
          ，α2=
          1
          2
          ．…（7分）
          （2）令β=mα1+nα2，則
          1
          7
          =m
          1
          -2
          +n
          1
          2
          ，解得m=-
          5
          4
          ，n=
          9
          4
          ，…（9分）
          所以M50β=M50(-
          5
          4
          α1+
          9
          4
          α2)
          =-
          5
          4
          (M50α1)+
          9
          4
          (M50α2)
          =-
          5
          4
          (λ150α1)+
          9
          4
          (λ250α2)
          =
          9
          4
          •450
          1
          2
          =
          450•
          9
          4
          450•
          9
          2
          ．      …（14分）
          點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于矩陣中的中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （1）選修4-2矩陣與變換：
          已知矩陣M=
          .
          2a
          21
          .
          ，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0）．
          ①求實數(shù)a的值；
          ②求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量．
          （2）選修4-4參數(shù)方程與極坐標(biāo)：
          已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是
          x=
          		2
          2
          t+m
          y=
          		2
          2
          t
          （t是參數(shù)）．若l與C相交于AB兩點，且AB=
          		14
          ．
          ①求圓的普通方程，并求出圓心與半徑；
          ②求實數(shù)m的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          已知矩陣M=
          01
          10
          ，N=
          0-1
          10

          （Ⅰ）求矩陣NN；
          （Ⅱ）若點P（0，1）在矩陣M對應(yīng)的線性變換下得到點P′，求P′的坐標(biāo)．
          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是
          x=t
          y=2t+1
          （t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，求圓C的直角坐標(biāo)方程
          （Ⅱ）求圓心C到直線l的距離．
          （3）選修4-5：不等式選講
          已知函數(shù)f（x）=|x-1|
          （Ⅰ）解不等式f（x）＞2；
          （Ⅱ）求函數(shù)y=f（-x）+f（x+5）的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
          （1）已知矩陣M=
          12
          21
          ，β=
          1
          7
          ，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計算M100β．
          （2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長．
          （3）已知a＞0，求證：
          		a2+
          1
          a2
          -
          		2
          ≥a+
          1
          a
          -2          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知矩陣M=
          2  1
          4  2
          ，向量
          β
          =
          .
          1 
          7 
          .
          ．
          （1）求矩陣M的特征向量；
          （2）計算M50
          β
          ．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案