Question

【題目】如圖，⊙O過(guò)平行四邊形ABCT的三個(gè)頂點(diǎn)B，C，T，且與AT相切，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：AT2=BTAD；
（2）E、F是BC的三等分點(diǎn)，且DE=DF，求∠A．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)椤螦=∠TCB，∠ATB=∠TCB，

所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．

又AT 2=ABAD，所以AT 2=BTAD

（2）解：取BC中點(diǎn)M，連接DM，TM．

由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．

因?yàn)镈E=DF，M為EF的中點(diǎn)，所以DM⊥BC．

所以O(shè)，D，T三點(diǎn)共線，DT為⊙O的直徑．

所以∠ABT=∠DBT=90°．

所以∠A=∠ATB=45°．

【解析】（1）證明AB=BT，結(jié)合切割線定理，即可證明結(jié)論；（2）取BC中點(diǎn)M，連接DM，TM，可得O，D，T三點(diǎn)共線，DT為⊙O的直徑，即可求∠A．