Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點(diǎn)(

2

，

2

2

)．設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點(diǎn)(

2

，

2

2

)，利用待定系數(shù)法，求出幾何量，可得橢圓的方程．設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求出k的值，表示出△OPQ面積，即可求出△OPQ面積的取值范圍．

解答：解：由題意可設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由 

c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1

得

a=2 b=1

，
所以，橢圓方程為

x2

4

+y2=1．                  …（4分）
由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．  …（8分）
因?yàn)橹本�OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以，

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2，即

-8k2m2

1+4k2

+m2=0，
又m≠0，所以k2=

1

4

，即k=±

1

2

．                   …（12分）
由于直線OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2且m²≠1．
設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，則S△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|m|

1+k2

1+k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

，
所以S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．                        …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．