Question

下列命題
①x，y＞0時(shí)，

x

y

+

2y

x

≥2          
②函數(shù)f(x)=

x2+2

x2+1

的最小值為2
③lgx+

1

lgx

≥2                   
④若正數(shù)a、b滿足a+b=1，則(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥4
其中一定成立的是

①②④

（只需填寫序號(hào)）

Answer 1

分析：本題考查基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)使用條件：“一正，二定，三相等”，即可判斷出每個(gè)命題是否成立．

解答：解：①∵x，y＞0，∴由基本不等式得

x

y

+

2y

x

≥2

x y 2y x

=2

2

＞2（當(dāng)且僅當(dāng)

x

y

=

2

時(shí)取“=”號(hào)）．由此可知①一定成立．
②∵f（x）=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)

x2+1

=

1

x2+1

，即x=0時(shí)取“=”號(hào)，因此函數(shù)f（x）的最小值為2．
③當(dāng)lgx＜0時(shí)，lgx+

1

lgx

＜0，故③不成立．
④∵a＞0，b＞0，∴（a+

1

a

）(b+

1

b

)≥2

a× 1 a

×2

b× 1 b

=4，當(dāng)且僅當(dāng)

a= 1 a b= 1 b

，即a=b=1時(shí)取“=”號(hào)．
又∵a+b=1，∴“=”號(hào)不成立．∴（a+

1

a

）（b+

1

b

）＞4，故④一定成立．
故一定成立的是①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式，特別要注意使用條件：一正，二定，三相等．