Question

【題目】（本題滿分12分）如圖13，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB∥平面AEC；

(2)設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P ABD的體積V＝，求A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】（1）略（2）

【解析】試題分析：證明線面平有兩種思路，一是尋求線線平行，二是尋求面面平行；已知三棱錐的體積求點(diǎn)到平面的距離，可借助面面垂直的性質(zhì)定理根據(jù)三棱錐的體積求出長，由于平面PAB，可以得出平面平面，可借助面面垂直的性質(zhì)定理做出點(diǎn)，垂足為，可得平面，即的長為點(diǎn)到平面的距離，再求出，這是一種傳統(tǒng)方法.

試題解析：

(1)證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.

因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．

又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.

EO平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，由V＝，可得AB＝.

作AH⊥PB交PB于點(diǎn)H.

由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，因?yàn)镻B∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.

又AH＝＝，

所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為