Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1-（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．

（1）求a的值；

（2）證明：函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；

（3）當(dāng)x∈（0，1]時，tf（x）≥2x-2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）見解析（3）[0，+∞）．

【解析】

（1）由于為上的奇函數(shù)，利用性質(zhì)，即可求出的值.

（2）利用定義法即可證明的單調(diào)性.

（3）利用分離參數(shù)法，然后構(gòu)造函數(shù)，利用換元法，結(jié)合其單調(diào)性，即可求出最大值，從而求出的范圍.

解：（1）函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù)，

，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿足.

（2）證明：設(shè)為定義域上的任意兩個實(shí)數(shù)，且，則

又，

；

，即；

∴函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

（3）由（1）得，當(dāng)時，；

∴當(dāng)時，恒成立，

等價于對任意的恒成立，

令，即；

當(dāng)時成立，即在上的最大值，

易知在上單增

∴當(dāng)時有最大值，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．