Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x³＋x²＋(m²－1)x，(x∈R，)其中m＞0

(1)當(dāng)m＝1時(shí)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(3)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x₁，x₂，且x₁＜x₂．若對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)曲線處的切線方程(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(Ⅲ)已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，且．若對任意的，恒成立，求m的取值范圍． 　　解析：當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1．又，所以曲線處的切線方程為．　2 　　(2)解析，令，得到 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4960/0022/c83bfaab9cdb873995d748427490caf8/C/Image120.gif" width=158 HEIGHT=22>當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：　4 　　f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)內(nèi)減函數(shù)，在(1－m，1＋m)內(nèi)增函數(shù)． 　　函數(shù)在處取得極大值，且＝　5 　　函數(shù)在處取得極小值，且＝　6 　　(3)解析：由題設(shè)， 　　所以方程＝0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得　8 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4960/0022/c83bfaab9cdb873995d748427490caf8/C/Image136.gif" width=281 HEIGHT=41> 　　若，而，不合題意　9 　　若則對任意的有　10 　　則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是，解得 　　綜上，m的取值范圍是　12