Question

在二項(xiàng)式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng)．
（1）求它是第幾項(xiàng)；
（2）求

a

b

的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式確定出展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)是解決本小題的關(guān)鍵；
（2）通過系數(shù)最大列出關(guān)于a，b的不等式，通過整體思想確定出

a

b

的范圍．蘊(yùn)含了不等式思想．

解答：解：（1）設(shè)T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r•（bxⁿ）^r=C₁₂^ra^12-rb^rx^{m（12-r）+nr}為常數(shù)項(xiàng)，
則有m（12-r）+nr=0，即m（12-r）-2mr=0，∴r=4，它是第5項(xiàng)．
（2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，
∴有

C 4 12 a8b4≥ C 3 12 a9b3 ①   c 4 12 a8b4≥  c 5 12 a7b5  ②

由①得a⁸b⁴≥

4

9

a⁹b³，
∵a＞0，b＞0，∴

9

4

b≥a，即

a

b

≤

9

4

．
由②得

a

b

≥

8

5

，
∴

8

5

≤

a

b

≤

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)是展開式的特定項(xiàng)是哪一項(xiàng)，考查方程思想，轉(zhuǎn)化思想，整體找出所求表達(dá)式的范圍，關(guān)鍵要建立合適的不等式．