Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，1）作直線與拋物線x²=2y相交于A，B兩   點(diǎn)．若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，則△ANB面積的最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：依題意可知點(diǎn)N的坐標(biāo)，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和的x₁x₂表達(dá)式，代入三角形面積公式中，可得k=0時(shí)△ANB面積有最小值，并且求出最小值．

解答：解：依題意得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-1），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，
直線方程與x²=2y聯(lián)立得

x2=2y y=kx+1

消去y得x²-2kx-2=0，
所以由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．

由圖可得：S△ABN=S△BCN+S△ACN=

1

2

•2|x1-x2|
=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2+8

=2

k2+2

，
∴當(dāng)k=0，(S△ABN)min=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．