Question

某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提前通過(guò)．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

1

3

，且每題正確完成與否互不影響．求：
（1）分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（2）試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)概率公式分別求出隨機(jī)變量的分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．（2）利用均值和方差分析兩個(gè)考試的實(shí)驗(yàn)操作能力．

解答：解：（1）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ、η，
則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．…（2分）
P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

．
∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為

ξ	1	2	3
p	1 5	3 5	1 5

…（4分）
Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
因?yàn)?span id="ekqsnjm" class="MathJye">P(η=0)=

C

0 3

(1-

2

3

)3=

1

27

，同理：P(η=1)=

6

27

，P(η=2)=

12

27

，P(η=3)=

8

27

．
∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為：

η	0	1	2	3
p	1 27	6 27	12 27	8 27

…（8分）
Eη=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．…（9分）
（2）∵Dξ=(2-1)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，…（10分）
Dη=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

．…（11分）
（或Dη=npq=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

）．∴Dξ＜Dη．
∵P(ξ≥2)=

3

5

+

1

5

=0.8，P(η≥2)=

12

27

+

8

27

≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）．
從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從做對(duì)題數(shù)的方差考察，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考察，甲獲得通過(guò)的可能性大．因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．                              …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率和統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，利用概率公式分別計(jì)算出隨機(jī)變量的分布列，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．