Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（1）求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若存在x∈[-1，ln

4

3

]，使a-e^x+1+x＜0成立，求a的取值范圍；
（3）當x≥0時，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知知函數(shù)f（x）=e^x-1-x，對其求導，把x=1代入f′（x）求點在x=1處的斜率，從而求解；
（2）已知要使a-e^x+1+x＜0成立，則a＜e^x-1-x，即a＜f（x），對f（x）求導，令f′（x）=0，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，只要求出f（x）的最大值即可；
（3）已知得x≥0時，e^x-x-1-tx²≥0恒成立，設g（x）=e^x-x-1-tx²，對g（x）求導，求出當x≥0時，g（x）的最小值大于0，即可求出t的范圍．

解答：解（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
f′（x）=e^x-1，f（1）=e-2，f′（1）=e-1．
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-e+2=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x-1．（3分）
（2）a＜e^x-1-x，即a＜f（x）．
令f′（x）=e^x-1=0，x=0．
∵x＞0時，f′（x）＞0，x＜0時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上減，在（0，+∞）上增．
又x0∈[-1，ln

4

3

]時，
∴f（x）的最大值在區(qū)間端點處取到，
f(-1)=e-1-1+1=

1

e

，f(ln

4

3

)=

4

3

-1-ln

4

3

，f(-1)-f(ln

4

3

)=

1

e

-

4

3

+1+ln

4

3

=

1

e

-

1

3

+ln

4

3

＞0，
∴f(-1)＞f(ln

4

3

)，
∴f（x）在[-1，ln

4

3

]上最大值為

1

e

，
故a的取值范圍是a＜

1

e

，（8分）
（3）由已知得x≥0時，e^x-x-1-tx²≥0恒成立，
設g（x）=e^x-x-1-tx²．
∴g′（x）=e^x-1-2tx．
由（2）知e^x≥1+x，當且僅當x=0時等號成立，
故g′（x）≥x-2tx=（1-2t）x，從而當1-2t≥0，
即t≤

1

2

時，g′（x）≥0（x≥0），
∴g（x）為增函數(shù)，又g（0）=0，
于是當x≥0時，g（x）≥0，即f（x）≥tx²，
∴t≤

1

2

時符合題意．（11分）
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0），從而當t＞

1

2

時，g′（x）＜e^x-1+2t（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2t），
故當x∈（0，ln2t）時，g′（x）＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，又g（0）=0，
于是當x∈（0，ln2t）時，g（x）＜0，即f（x）≤tx²，
故t＞

1

2

，不符合題意．綜上可得t的取值范圍為(-∞，

1

2

]（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，難度一般，掌握運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力．