Question

設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)：相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）;（3）

【解析】(1)設(shè)Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）,知     

，由 ,可知為中點(diǎn)．

從而得到,，進(jìn)一步計(jì)算可求出記心率的值.

（2）由⑴知，可求出△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=,

所以再利用圓心到直線(xiàn)l的距離等于半徑a,可得到關(guān)于a的方程解出a值，從而得到橢圓C的方程.

(3) 設(shè)，平行四邊形是菱形可轉(zhuǎn)化為, ,

所以,則,然后直線(xiàn)MN與橢圓方程聯(lián)立，消y，再借助韋達(dá)定理來(lái)解決即可.

解：（1）設(shè)Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）

知 

，

由于 即為中點(diǎn)．

故，  

故橢圓的離心率             （4 分）

（2）由⑴知得于是（，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求橢圓方程為           （8 分）

（3）由（Ⅱ）知     ：

  代入得

設(shè)，

則，        （10分）

由于菱形對(duì)角線(xiàn)垂直，則                  

故       

則

       （12分）

由已知條件知且          

    

故存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是．   （13分）