Question

．（本小題滿分13分）如圖，四棱錐中，⊥底面∥，，∠=120°，=，∠=90°，是線段上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

（Ⅲ）試確定點(diǎn)的位置，使直線與平面所成角的正弦值為.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC                （4分）

（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

A（0，，0，0），P（0，0，），C（，0），D（，0）

，，                  (6分)

 

易求為平面PAC的一個(gè)法向量.

為平面PDC的一個(gè)法向量     

∴cos

故二面角D-PC-A的正切值為2.  (10分)

（Ⅲ）設(shè),則  ,

解得點(diǎn),即  

由得(不合題意舍去)或

所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角的正弦值為   （13分）

 

【解析】略