Question

（本小題滿分12分）

如圖：在三棱錐中，是直角三角形，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

解析:

解法一:（Ⅰ） 連結(jié)BD．在中，.

∵，點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∴．

又∵即BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影，∴．

∵分別為的中點(diǎn),∴,∴．   ( 3分)

（Ⅱ）∵∴．

連結(jié)交于點(diǎn)，∵，,∴，

∴為直線與平面所成的角，.          (4分)

          

.∵∴，，又∵，

∴.∵，∴，

∴在Rt△中，，∴．    (8分)

（Ⅲ）過點(diǎn)作于點(diǎn)F，連結(jié)，∵

∴即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影，

∴∴為二面角的平面角．             (9分)

∵中，,∴．       (12分)

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系B−xyz,如圖，

則，，，，.     (2分)

（Ⅰ）∵，，

∴ ,∴.       (4分)

（Ⅱ）由已知可得，為平面的法向量，,

∴ ，

∴直線與面所成角的正弦值為.

∴直線與面所成的角為.        (8分)

（Ⅲ）設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為a，∵，

∴ a，a，令，∴ a

由已知可得，向量為平面PBF的一個(gè)法向量，

∴  a ，∴ a .

∴二面角的正切值為.             (12分)