Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值．
（2）若g（x）=f（x）-|m-1|x在[2，3]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可得到關(guān)于a，b的方程組

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

，解之即可；
（2）由（1）可得f（x）的解析式，從而可得g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=a（x-1）²+2+b-a的對(duì)稱軸方程為x=1，又a＞0，所以f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，

f(3)=2 f(2)=5

，即

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

，
解得：

a=1 b=0

．
（2）由（1）得f（x）=x²-2x+2，
∴g（x）=x²-2x+2-|m-1|x
=x²-（2+|m-1|）x+2，
∵g（x）=x²-（2+|m-1|）x+2在[2，3]上單調(diào)，
∴

2+|m-1|

2

≤2，或

2+|m-1|

2

≥3，
∴|m-1|≤2或|m-1|≥6，
即m≤-5，或-1≤m≤3，或m≥7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查解方程組與不等式組的能力，考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值及分類討論思想、方程思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．