Question

如圖6，已知動圓M過定點F（1,0）且與x軸相切，點F 關于圓心M 的對稱點為 F'，動點F’的軌跡為C．

（1）求曲線C的方程；

（2）設是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q．

①證明：直線PQ的斜率為定值；

②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的

距離最大，求點B的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】第一問中利用直線育園的位置關系可知得到曲線C的軌跡方程

第二問中，（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．

設直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k．  ………………6分

因為是曲線C：上的點，

所以，直線AP的方程為．

由與聯(lián)立，

解之得，

所以點P的坐標為(,)，

以-k替換k，得點Q的坐標為(,)

所以直線PQ的斜率為定值

再就是由①可知，，，

，所以直線QP的方程為，

整理得得到B的坐標。

解：（1）（法1）設，因為點在圓M上，

且點F關于圓心M的對稱點為F’，

所以，               …………1分

且圓M的直徑為．…………2分

由題意，動圓M與y軸相切，

所以，兩邊平方整理得：，

所以曲線C的方程為．             ………………………………5分

（法2）因為動圓M過定點且與x軸相切，所以動圓M在x軸上方，

連結FF’，因為點F關于圓心M的對稱點為F’，所以FF’為圓M的直徑．

過點M作軸，垂足為N，過點F’作軸，垂足為E（如圖6－1）．

在直角梯形EOFF’中，，

即動點F’到定點的距離比到軸的距離大1． ……………………………3分

又動點F’于軸的上方（包括軸上），

所以動點F’到定點的距離與到定直線y=-1的距離相等．

故動點F’的軌跡是以點為焦點，以直線y=1為準線的拋物線．

所以曲線C的方程為．             ……………………………5分

（2）①（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．

設直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k．  ………………6分

因為是曲線C：上的點，

所以，直線AP的方程為．

由與聯(lián)立，

解之得，

所以點P的坐標為(,)，

以-k替換k，得點Q的坐標為(,)，．       ………………8分

所以直線PQ的斜率為定值．………………10分

（法2）因為是曲線C：上的點，所以，

又點P、Q在曲線C：上，所以可設，，     …6分

而直線AP，AQ的傾斜角互補，

所以它們的斜率互為相反數(shù)，即，整理得．8分

所以直線pq的斜率為定值．   ………10分

②（法1）由①可知，，

，所以直線QP的方程為，

整理得．                   …………11分

設點在曲線段l上，因為P、Q兩點的橫坐標分別為和，

所以B點的橫坐標X在和之間，

所以，從而．

點B到直線QP的距離d=． ………12分

當時，d的最大值為．

注意到，所以點在曲線段L上．

所以，點B的坐標是． …………………………………………14分

（法2）由①可知，，結合圖6－3可知，

若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，

則曲線C在點B處的切線L//QP．   ………………11分

設L：，由方程組

與，聯(lián)立可得

消去y，得．

令△=0，整理，得．……12分

代入方程組，解得，．

所以，點B的坐標是． ……………………………………………14分

（法3）因為拋物線C：關于y軸對稱，

由圖6－4可知，當直線AP的傾斜角大于00且趨近于00時，直線AQ的傾斜角小于1800且趨近于1800，即當直線AP的斜率大于0且趨近于0時，直線AQ的斜率小于0且趨近于0．

從而P、Q兩點趨近于點關于軸的對稱點． ……11分

由拋物線C的方程和①的結論，

得，．

所以拋物線C以點為切點的切線L//PQ．

……………………12分

所以曲線段L上到直線QP的距離最大的點就是點A’，

即點B、點A’重合．

所以，點B的坐標是． ……………14分