Question

已知集合A＝{a₁，a₂，a₃，…，a_k}(k≥2)，其中a_i∈Z(i＝1，2，…，k)，由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合S＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a＋b∈A}，T＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，其中(a，b)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，集合S和T的元素個(gè)數(shù)分別為m，n．若對(duì)于任意的a∈A，總有－aA，則稱集合A具有性質(zhì)P．

(Ⅰ)檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{－1，2，3}是否具有性質(zhì)P，并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合寫(xiě)出相應(yīng)的集合S和T；

(Ⅱ)對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；

(Ⅲ)判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：集合不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合是； 　　(Ⅱ)證明：首先由中的元素構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對(duì)共有個(gè)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1228/1070/1e5767a3fe2b39712c9a2958d8e8fdc0/C/Image1135.gif" width=114 height=24>， 　　又因?yàn)楫?dāng)， 　　所以當(dāng)，于是集合中的元素的個(gè)數(shù)最多為，即． 　　(Ⅲ)解：，證明如下： 　�、賹�(duì)于，根據(jù)定義 　　如果是中的不同元素，那么中至少有一個(gè)不成立，于是與中至少有一個(gè)不成立，故與也是中的不同元素．可見(jiàn)中的元素個(gè)數(shù)不多于中的元素個(gè)數(shù)，即； 　�、趯�(duì)于，根據(jù)定義 　　如果是中的不同元素，那么中至少有一個(gè)不成立，于是與中至少有一個(gè)不成立，故與也是中的不同元素．可見(jiàn)中的元素個(gè)數(shù)不多于中的元素個(gè)數(shù)，即． 　　由①②可知．