Question

已知函數(shù)．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增 區(qū)間；
（II）a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零，對(duì)a分情況討論，根據(jù)△的符號(hào)，即可求得結(jié)論；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點(diǎn)等價(jià)于方程f（x）=0在上有實(shí)根，分離參數(shù)得，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）f′（x）=
令f′（x）＞0⇒ax²-2x+1＞0
①若a=0，則，f（x）的遞增區(qū)間是；
②若a＜0，則△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的兩根，，
當(dāng)時(shí)，＞0
∴f（x）的遞增區(qū)間是
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1時(shí)，
方程ax²-2x+1=0的兩根，，
此時(shí)f（x）的遞增區(qū)間為和
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1時(shí)f'（x）≥0
此時(shí)的遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（II）問(wèn)題等價(jià)于方程f（x）=0在上有實(shí)根，
而f（x）=0?，
令，
再令ϕ（x）=x-xlnx-1，則ϕ'（x）=-lnx
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）↗，當(dāng)x＞1時(shí)，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）↘
∴當(dāng)x=1時(shí)，ϕ（x）取得唯一的極大值也是ϕ（x）的最大值（ϕ（x））_max=ϕ（1）=0
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在上有零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問(wèn)題．考查了計(jì)算能力和分析解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．