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          已知各項不為零數(shù)列{an}滿足a1=
          2
          3
          ，且對任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am•an，求：
          （1）
          an
          a1n
          的值；
          （2）(
          a2014
          a2013
          )2014+(
          a2012
          a2011
          )2012+(
          a2010
          a2009
          )2010+…+(
          a4
          a3
          )4+(
          a2
          a1
          )2          的值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）令m=1，推導出
          an+1
          an
          =
          2
          3
          ，從而得到數(shù)列{an}是首項為a1=
          2
          3
          ，公比為q=
          2
          3
          的等比數(shù)列，由此能求出
          an
          a1n 
          的值．
          （2）由
          an+1
          an
          =
          2
          3
          ，把(
          a2014
          a2013
          )2014+(
          a2012
          a2011
          )2012+(
          a2010
          a2009
          )2010+…+(
          a4
          a3
          )4+(
          a2
          a1
          )2          等價轉(zhuǎn)化為(
          2
          3
          )2014+(
          2
          3
          )2012+…+(
          2
          3
          )2          ，再由等比數(shù)列的前n項和公式能求出結(jié)果．
          解答：解：（1）令m=1，得an+1=a1•an，…（3分）
          ∵an≠0，∴
          an+1
          an
          =a1=
          2
          3
          ，…（4分）
          ∴數(shù)列{an}是首項為a1=
          2
          3
          ，公比為q=
          2
          3
          的等比數(shù)列 …（5分）
          于是an=
          2
          3
          •（
          2
          3
          ）（n-1）=（
          2
          3
          ）n，
          ∴
          an
          a1n 
          =1．…（7分）
          （2）∵
          an+1
          an
          =a1=
          2
          3
          ，
          ∴(
          a2014
          a2013
          )2014+(
          a2012
          a2011
          )2012+(
          a2010
          a2009
          )2010+…+(
          a4
          a3
          )4+(
          a2
          a1
          )2
          =(
          2
          3
          )2014+(
          2
          3
          )2012+…+(
          2
          3
          )2          …（9分）
          =
          (
          2
          3
          )          2          (1-(
          2
          3
          )          2•1007          )
          1-(
          2
          3
          )          2
          …（11分）
          =
          4(1-(
          2
          3
          )          2•1007          )
          5
          …（12分）
          點評：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列前n項和公式的合理運用．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2008•湖北模擬）對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)f(x)=
          x2+a
          bx-c
          (b，c∈N*)          有且僅有兩個不動點0、2，且f(-2)＜-
          1
          2
          ．
          （1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
          （2）已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
          1
          an
          )=1          ，求證：-
          1
          an+1
          ＜ln
          n+1
          n
          ＜-
          1
          an
          ；
          （3）設(shè)bn=-
          1
          an
          ，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2008-1＜ln2008＜T2007．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于函數(shù)f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，則稱xo為f（x）的不動點．如果函數(shù)f（x）=
          x2+a
          bx-c
          （b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
          1
          2
          ．
          （1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
          （2）已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
          1
          an
          ）=1，求證：-
          1
          an+1
          ＜ln
          n+1
          n
          ＜-
          1
          an
          ；
          （3）設(shè)bn=-
          1
          an
          ，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2009-1＜ln2009＜T2008．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點，如果函數(shù)f(x)=
          x2
          ax-b
          （a，b∈N）有且只有兩個不動點為0、2，且b＜3．
          （1）求函數(shù)f（x）的解析式并寫出函數(shù)f（x）的定義域；
          （2）已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足：4Sn•f(
          1
          an
          )=1          ，且Sn=a1+a2+…+an，Tn=
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +
          1
          S3
          +…+
          1
          Sn
          ，求Tn．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)f（x）=
          x2+a
          bx-c
          （b，c∈N）有且只有兩個不動點0，2，且f（-2）＜-
          1
          2
          ，
          （1）求函數(shù)f（x）的解析式；
          （2）已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
          1
          an
          ）=1，求數(shù)列通項an；
          （3）如果數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=f（an），求證：當n≥2時，恒有an＜3成立．
          

			
          

			
          
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