Question

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=4．
（1）求三棱ABC-A₁B₁C₁的表面積S；
（2）設(shè)E為棱BB₁的中點，求異面直線A₁E與BC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）利用S=2S_△ABC+S_側(cè)，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積S；
（2）取CC₁中點F，連結(jié)EF、A₁F．確定∠A₁EF就是異面直線A₁E與BC所成角（或其補角），在△A₁EF中，利用余弦定理可求結(jié)論．

解答：解：（1）S_△ABC=

3

4

×22=

3

，…（1分）  
S_側(cè)=6×4=24． …（3分）
所以S=2S_△ABC+S_側(cè)=2

3

+24．   …（5分）
（2）取CC₁中點F，連結(jié)EF、A₁F．
因為EF∥BC，所以∠A₁EF就是異面直線A₁E與BC所成角（或其補角）．…（7分）
在△A₁EF中，EF=2，A₁E=A₁F=2

2

，
cos∠A₁EF=

2

4

，…（3分）
所以∠A₁EF=arccos

2

4

…．…（11分）
所以異面直線A₁E與BC所成角的大小為arccos

2

4

．…（12分）

點評：本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關(guān)鍵是正確作出線線角，屬于中檔題．