Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的中點，AB=BC=AC=4，PA=PC=2

2

．求證：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

分析：（1）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO．
（2）由線段長度間的關(guān)系可得

AO

OG

=2，由 Q是△PAB的重心，可得

AQ

QF

=2=

AO

OG

，故有FG∥QO，進而證得FG∥平面EBO．

解答：（1）證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形． 因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，
因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因為PA?平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）證明：連AF交BE于Q，連QO．因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，
所以

AO

OG

=2． 又 Q是△PAB的重心，
于是，

AQ

QF

=2=

AO

OG

，所以，F(xiàn)G∥QO．
因為FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以，F(xiàn)G∥平面EBO．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，證明FG∥QO是解題的難點．