Question

已知圓心為P的動(dòng)圓與直線y=﹣2相切，且與定圓x²+（y﹣1）²=1內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)斜率為的直線與曲線E相切，求此時(shí)直線到原點(diǎn)的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：

軌跡方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；點(diǎn)到直線的距離公式．

專題：

圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．

分析：

（1）利用直線與圓相切的性質(zhì)、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)及拋物線的定義即可得出；

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答：

解：（1）設(shè)圓心P（x，y），∵圓P與直線y=﹣2相切，∴圓P的半徑R=|y+2|．

又∵原P與定圓x²+（y﹣1）²=1內(nèi)切，

∴|y+2|﹣1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴點(diǎn)P到定直線y=﹣1與到定點(diǎn)F（0，1）的距離相等，

∴點(diǎn)P的軌跡是拋物線x²=4y．即曲線E的方程為x²=4y．

（2）設(shè)斜率為的直線與曲線E相切于點(diǎn)M（x₀，y₀）．

由曲線E的方程為x²=4y，∴，∴切線的斜率為，

∴，即，∴=8，

∴切點(diǎn)為．

∴切線方程為，化為．

∴原點(diǎn)到此切線的距離d==．

點(diǎn)評：

熟練掌握直線與圓相切的性質(zhì)、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)及拋物線的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．