Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A₁、A₂，點M是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點，設(shè)直線MA₁、MA₂的斜率分別為、，證明為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程，A₁、A₂為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A₁、A₂的點，、分別為直線MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得=______（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由離心率，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，知b=，，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由橢圓方程得，，設(shè)M點坐標(biāo)（x_o，y_o），則，由此能證明是定值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論得．
解答：解：（Ⅰ）∵離心率，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，
∴b=，，
∴，
∴橢圓方程
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得，
設(shè)M點坐標(biāo)（x_o，y_o）
則，
，，
∴
∴是定值
（Ⅲ）=-．
點評：本題考查橢圓方程的求法，證明為定值．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用橢圓性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．