Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，點(diǎn)E是A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且到直線OE的距離等于1．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng)，則L的離心率等于

2

2

．

Answer 1

分析：由題意可知點(diǎn)P在以O(shè)E為軸，半徑為1的圓柱側(cè)面上，點(diǎn)P又在底面ABCD上，得點(diǎn)P的軌跡是平面ABCD與圓柱側(cè)面的交線，想象知其必為橢圓，由軸OE與ABCD成45°，可算得其離心率

解答：解：由題意可知：知點(diǎn)P的軌跡為橢圓，作EF⊥AD于點(diǎn)F，則EF=OF=2，△OEF為等腰直角三角形，得軸OE與平面ABCD所成的角為45°，
∵P的軌跡是橢圓，而半長(zhǎng)軸長(zhǎng)a=

2

，短半軸長(zhǎng)為b=1，
∴c²=a²-b²=1，
∴e=

1

2

=

2

2

．
故答案為：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何與橢圓的交匯，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．