Question

已知拋物線C：y²=ax（a＞0），拋物線上一點到拋物線的焦點F的距離是3．
（1）求a的值；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線C于A、B兩點．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點到焦點的距離就是到準線的距離，再利用在拋物線上，即可求a的值；
（2）（i）直線l的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，可求AB的長；
（ⅱ）設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）點到焦點的距離就是到準線的距離，
∴…（2分）
∵在拋物線上得：a•x=8…（3分）
∴a²-12a+32=0，a=4（舍）或a=8，
∴x=1（舍）或x=2…（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）直線l的方程為：y=x-4，…（6分）
聯(lián)立，整理得：x²-12x+16=0…（7分）
∴|AB|==．…（9分）
（ⅱ）設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（11分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=
=
==…（13分）
當a=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值．…（14分）
因此存在直線m：x=3滿足題意                                    …（15分）
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．