Question

已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)a＞0和任何實(shí)數(shù)x，都有f(ax)=af(x).

（1）證明:f(0)=0；

（2）證明f(x)=其中k和h均為常數(shù)；

（3）當(dāng)（2）中的k＞0時(shí)，設(shè)g(x)=+f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

Answer 1

(1)證明:對于任意的a＞0，x∈R,均有f(ax)=af(x)，①

在①中取a=2,x=0，即得f（0）=2f（0）.

∴f(0)=0.②

(2)證明：當(dāng)x＞0時(shí),由①得f（x）=f（x·1）=xf（1）.

取k=f（1），則有f（x）=kx,③

當(dāng)x＜0時(shí)，由①得f(x)=f［(-x)·(-1)］=(-x)f(-1).

取h=-f(-1),則有f(x)=hx，④

綜合②③④得f(x)=

(3)解:解法1：由（2）中的③知當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=+kx,從而g′(x)=-+k=,x＞0.又因?yàn)閗＞0,由此可得

X	(0,)		(,+∞)
g′(x)	-	0	+
g(x)		極小值2

所以g（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+∞）,內(nèi)單調(diào)遞增，在x=處取得極小值2.

解法2：由（2）中的③知當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=+kx.

設(shè)x₁、x₂∈(0,+∞),且x₁＜x₂,則

g(x₂)-g(x₁)=(k²x₁x₂-1).

又因?yàn)閗＞0,所以

①當(dāng)0＜x₁＜x₂＜時(shí)，g(x₂)＜g(x₁);

②當(dāng)0＜＜x₁＜x₂時(shí)，g(x₂)＞g(x₁).

所以g(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在x=處取得極小值2.