Question

已知數(shù)列和滿足：，，,其中為實數(shù)，為正整數(shù).

（Ⅰ）證明：對任意實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；   

（Ⅱ）證明：當時，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前n項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有

  ？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）證明：

                 

又，，由上式知，

故當時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，于是

   

    當時，，從而上式仍成立.

    要使對任意正整數(shù)n , 都有，

即          

    令，則

    當n為正奇數(shù)時，當n為正偶數(shù)時，

   

    于是可得

    綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有

  的取值范圍為。