Question

已知{a_n}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）證明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)得a₃a₄=10，且a₃、a₄均為非負(fù)整數(shù)，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．然后逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證得a₃=2．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，知對于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，．
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，所以Sn=

1 2 n(n+1)，當(dāng)n為偶數(shù) 1 2 n(n+1)-1，當(dāng)n為奇數(shù)

．

解答：解：（1）由題設(shè)得a₃a₄=10，且a₃、a₄均為非負(fù)整數(shù)，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．
若a₃=1，則a₄=10，a5=

3

2

，與題設(shè)矛盾，
若a₃=5，則a₄=2，a5=

35

2

，與題設(shè)矛盾，
若a₃=10，則a₄=1，a₅=60，a6=

3

5

，與題設(shè)矛盾，
所以a₃=2．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)n=3，a₃=a₁+2，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)等式成立，即a_k=a_k-2+2，
由題設(shè)a_k+1a_k=（a_k-1+2）（a_k-2+2），
∵a_k=a_k-2+2≠0，∴a_k+1=a_k-1+2，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式a_k+1=a_k-1+2成立．
根據(jù)①和②，對于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，
得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，
所以Sn=

1 2 n(n+1)，當(dāng)n為偶數(shù) 1 2 n(n+1)-1，當(dāng)n為奇數(shù)

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要仔細(xì)審題，要注意公式的靈活運(yùn)用，注意答題的時(shí)間控制．