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        1. 定義在R上的偶函數(shù)滿足:①對都有

          ②當(dāng)時,都有,若方程在區(qū)間上恰有3個不同實(shí)根,實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

           

          【答案】

          【解析】解:∵當(dāng)x1,x2∈[0,3]且x1≠x2時,都有

          f(x1)-f(x2)

          x1-x2

          >0,可知函數(shù)在[0,3]上單調(diào)遞增.

          又f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸(x=0)對稱,故在[-3,0]上為減函數(shù).

          令x=-3,則由f(x+6)=f(x)+f(3)得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0

          因?yàn)閒(x+6)=f(x)+f(3)=f(x)+0=f(x),所以f(x)是周期等于6的周期函數(shù),故函數(shù)關(guān)于x=6對稱,所以f(9)=0,

          因?yàn)閥=f(x)是R上的偶函數(shù),f(-9)=0,f(-3)=0,

          因?yàn)閒(x)在[0,3]上是增函數(shù),所以[0,3]上只有一解為3,對稱性[-3,0]只有一解為-3,因?yàn)閒(x+6)=f(x)+f(3),且f(x)在[0,3]上是增函數(shù),

          所以f(x)在[6,9]上是增函數(shù),所以[6,9]上只有一解為9,因?yàn)閒(x)關(guān)于x=6對稱,所以f(x)在[3,6]上只有一解為3,

          由對稱性知[-9,-6],[-6,-3]各只有一解-9,-3,

          要使方程f(x)=0在區(qū)間[a,6-a]上恰有3個不同實(shí)根,則區(qū)間長度6-2a 滿足 12≤8-2a<15,解得-7<a≤-3.

          ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-7,-3],

          故答案為(-7,-3].

           

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