Question

性質(zhì)p：對(duì)于任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)≥2f(

x+y

2

)．則以下函數(shù)中具有性質(zhì)p的是（　　）

A．y=lgx

B．y=3^-x

C．y=x³

D．y=-x²

Answer 1

分析：當(dāng)f（x）=lgx時(shí)，f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy≤2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2；當(dāng)f（x）=3-x=(

1

3

)x時(shí)，f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

=2f（

x+y

2

）；當(dāng)f（x）=x³時(shí)，f（x）+f（y）=x³+y³≤2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

；當(dāng)f（x）=-x²時(shí)，f（x）+f（y）=-x²-y²≤2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

．

解答：解：當(dāng)f（x）=lgx時(shí)，
f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy，
2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2，
∵xy≤(

x+y

2

)2，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故A不具有性質(zhì)P．
當(dāng)f（x）=3-x=(

1

3

)x時(shí)，
f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

，
2f（

x+y

2

）=2•(

1

3

)

x+y

2

=2

( 1 3 )x+y

，
∴f（x）+f（x）≥2f（

x+y

2

），
故B具有性質(zhì)P．
當(dāng)f（x）=x³時(shí)，
f（x）+f（y）=x³+y³，
2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故C不具有性質(zhì)P．
當(dāng)f（x）=-x²時(shí)，
f（x）+f（y）=-x²-y²，
2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故D不具有性質(zhì)P．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的大小比較，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用均值定理和基本不等式進(jìn)行解題．