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          設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
          x2
          4
          +y2=1          的左右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F1作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．
          （Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長；
          （Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得
          MA
          •
          MB
          為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （Ⅰ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，A(-
          		3
          ，
          1
          2
          )，B(-
          		3
          ，-
          1
          2
          )          ，此時(shí)OA與OB不垂直．（2分）
          當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x+
          		3
          )，A(x1，y1)，B(x2，y2)          ，
          聯(lián)立直線與橢圓的方程
          y=k(x+
          		3
          )
          x2+4y2=4
          ，整理得(4k2+1)x2+8
          		3
          k2x+12k2-4=0          （4分）x1+x2=
          -8
          		3
          k2
          4k2+1
          ，x1x2=
          12k2-4
          4k2+1

          ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+
          		3
          )(x2+
          		3
          )=x1x2+k2x1x2+
          		3
          k2(x1+x2)+3k2=0
          		3
          k2•
          -8
          		3
          k2
          4k2+1
          +(1+k2)•
          12k2-4
          4k2+1
          +3k2=0
          解得k2=
          4
          11
          （6分）
          ∴|AB|=
          		1+k2
          |x1-x2|=
          20
          9
          （8分）
          （Ⅱ）設(shè)M（m，0）為x軸上一點(diǎn)
          MA
          •
          MB
          =(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
          =
          12k2-4
          4k2+1
          -m•
          -8
          		3
          k2
          4k2+1
          +m2-
          k2
          4k2+1
          =
          (4m2+8
          		3
          m+11)k2+m2-4
          4k2+1
          （12分）
          若
          MA
          •
          MB
          為定值，則有
          4m2+8
          		3
          m+11
          m2-4
          =
          4
          1
          ，解得m=-
          9
          		3
          8

          所以存在點(diǎn)M(-
          9
          		3
          8
          ， 0)          使得
          MA
          •
          MB
          為定值．（14分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=
          a2
          c
          上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
          （
          		3
          3
          ，1）
          （
          		3
          3
          ，1）
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上的一點(diǎn)A（1，
          3
          2
          ）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
          （1）求橢圓方程；
          （2）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求證：|
          OP
          |＜
          1
          2
          ；
          （3）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點(diǎn)，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是KQM•KQN=-
          3
          4
          的什么條件？證明你的結(jié)論．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長是焦距的2倍．
          （1）求橢圓的方程；
          （2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
          PF1
          •
          PF2
          的最大值和最小值；
          （3）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•安徽）設(shè)橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          1-a2
          =1          的焦點(diǎn)在x軸上
          （1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
          （2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長是焦距的2倍．
          （1）求橢圓的方程；
          （2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
          PF1
          •
          PF2
          的最大值和最小值；
          （3）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（5，0），求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程．
          

			
          

			
          
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