Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線(xiàn)PA交y軸于M，直線(xiàn)PB交y軸于N．

（Ⅰ）求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．

Answer 1

【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）

(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線(xiàn)l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線(xiàn)聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線(xiàn)PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為y2=4x．

由題意可知直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，

設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1（k≠0）．

由得．

依題意，解得k<0或0<k<1．

又PA，PB與y軸相交，故直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3．

所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直線(xiàn)PA的方程為y–2=．

令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．

同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．

由，得，．

所以．

所以為定值．