Question

（本小題滿分12分）

某體育館擬用運(yùn)動場的邊角地建一個矩形的健身室(如圖所示)，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在   上。設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點H在    的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？ 

Answer 1

（本小題滿分12分）

某體育館擬用運(yùn)動場的邊角地建一個矩形的健身室(如圖所示)，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在   上。設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點H在    的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？ 

分析：主要考查學(xué)生解決實際問題的能力及函數(shù)最值的求解 

解：延長GH交CD于N，則NH=40 sinθ,CN=40 cosθ 

∴HM=ND=50-40 cosθ,    AM=50-40 sinθ    …………………………2分

故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ)                 …………………………3分

=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤) …………………………4分

令t=sinθ+cosθ=sin(θ+)              

則sinθcosθ=且t∈［1, ］          …………………………6分

∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450    …………………………8分

又t∈［1, ］∴當(dāng)t=1時，S_max=500 

此時sin(θ+)=1sin (θ+)=       …………………………10分

∵≤θ+≤π  ∴θ+=或π 

即θ=0或θ=                          …………………………12分