Question

已知

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，

c

=(5，4)
（1）求證：(

a

-2

b

)⊥

c

；
（2）若

c

∥(m

a

+n

b

)，求兩實(shí)數(shù)m，n的比

m

n

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)乘法則和減法法則求出

a

-2

b

的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積公式計(jì)算(

a

-2

b

)

c

的值，最后根據(jù)兩向量垂直的充要條件進(jìn)行判斷即可；
（2）先求出向量m

a

+n

b

的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系建立等式，從而求出m與n的關(guān)系，得到兩實(shí)數(shù)m，n的比

m

n

．

解答：解：（1）證明：∵

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，
∴

a

-2

b

=（2，1）-（-2，6）=（4，-5）
∴(

a

-2

b

)•

c

=（4，-5）（5，4）=4×5+（-5）×4=0
∴(

a

-2

b

)⊥

c

；
（2）∵

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，
∴m

a

+n

b

=m（2，1）+n（-1，3）=（2m-n，m+3n）
∵

c

∥(m

a

+n

b

)，
∴5×（m+3n）=4（2m-n）即3m=19n
∴

m

n

=

19

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系和共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于中檔題．