Question

【題目】已知函數(shù)，任取，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記.

（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；

（2）當時，求函數(shù)的解析式；

（3）設函數(shù)，，其中為參數(shù)，且滿足關于的不等式有解，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），()； （2）. （3）.

【解析】

(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的解析式求出它的最小正周期和對稱軸方程；(2)分類討論、、時，求出對應函數(shù)的解析式；(3)根據(jù)的最小正周期求出函數(shù)的最小正周期，研究函數(shù)在一個周期內(nèi)的性質(zhì)，求出的解析式，畫出的部分函數(shù)圖像，求出值域，利用不等式求出k的取值范圍，再把“若對任意，存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為“在上的值域是在上的值域的子集”，從而求出k的取值范圍.

(1)函數(shù)的最小正周期為，

令，解得對稱軸為；

(2)①當時，在區(qū)間上，，

，所以

②當時，在區(qū)間上，，

，所以，

③當時，在區(qū)間上，，

，所以，

所以當時，；

(3)因為函數(shù)的最小正周期為4，所以，所以

即函數(shù)的周期為4，

由(2)可得，畫出函數(shù)的部分圖像如圖所示，函數(shù)的值域為，

已知有解，即，則，

若對任意，存在，使得成立，

則在上的值域是在上的值域的子集，

，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

因為在上單調(diào)遞增，所以，

所以，即.